یک قطعه کاغذ به شکل مثلث راستگوشه EKF و با اضلاعی به طول های  e  و f  و  k  در دست است. کاغذ را تا میکنیم بطوریکه گوشه ی قائمه ی مثلث بر روی وتر قرار گیرد.

                                                              

فرمولی پیدا کنید برحسب اضلاع و زوایای مثلث، در کمال سادگی و ایجاز، که کمینه ی مساحت قسمت تا شده( یعنی مساحت مثلث TGS )را مستقیما" به دست دهد.

راه حل هندسی، جبری، مثلثاتی، حسابی!

بله، به واقع در این راه حل از همه ی این شاخه های ریاضی استفاده شده است و منظور از حساب هم البته همان کلکولس است. ممکن است یک راه حل هندسی ناب و بسیار زیبا هم موجود باشد که آیندگان آنرا پیدا کنند ولی این راه حل که در زیر خواهد آمد راهی است که به فکر من رسیده است. راهی است پر پیچ و خم، طولانی و با فراز و نشیب زیاد. در یک کلمه، راهی است "پر از بیم". با اینهمه به قول خواجه ی شیراز: ".... رفتن آسان بود ار واقف منزل باشی!"

                                                                                                         

 

برای پیدا کردن کمینه ی A مشتق را صفر کرده و حل میکنیم. این معادله حاصل میشود:

                            (10) ....................................................    er3 + 3fr2 - 3er - f = 0

معادله ی فوق معادله ی جالبی است و بعدا" خواهیم دید که چون مبین آن همواره منفی است پس معادله در همه حال سه ریشه حقیقی دارد:   r ،  r2  ،  r1   که این ریشه ها خود از معادله جالب ترند! 

برای پیدا کردن این ریشه ها از روشی که در مقاله ی پنجم شرح داده شده است(حل معادله ی درجه سوم آسان شد) استفاده میکنیم. لطفا" به آن مقاله مراجعه کرده و خلاصه ی آنرا مرور نمایید(همان یک صفحه ای که به انگلیسی است کافیست و سه مثالی که به دنبال آن آمده است، بخصوص مثال سوم)

 اینک معادله ی (۱۰) را حل میکنیم:

               

مقادیر عددی پارامتر های e و f و k و اندازه ی زاویه ی E هر چه باشد (زاویه ی E بین صفر تا نود درجه است ) بسیار واضح است که  r2 همواره منفی است زیرا عبارت داخل کروشه همواره مثبت است. پس این ریشه مردود است.

اینک دو مطلب دیگر را نیز ثابت میکنیم: اول اینکه r1 همواره مثبت و دوم آنکه  r3 همواره منفی است. بنابر این  r3  هم مردود خواهد شد و تنها ریشه ی قابل قبول معادله r1 خواهد بود. در این رابطه از چند اتحاد مثلثاتی معروف نیز کمک میگیریم:

                                                                 cos(a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b

                                                                                   cos(3a)= 4cos3 a - 3 cos a

                                                                                     sin(3a)= 3sin a - 4 sin3 a

                                                                                           cos(2a) = 1 - 2sin2 a

ساده سازی  r:

 

همان طور که ملاحظه میشود  r1  فقط بر حسب تانژانت زاویه ی E بیان شده است و صرفنظر از اینکه اندازه ی زاویه ی E  چقدر باشد  r1 همواره مثبت است.

r2  و  r3 را هم میتوان با همین روش ساده کرد. توصیه میکنم که دوستان جوان و نوجوان ما که مثلثات را در حد کلاس دوازدهم میدانند با روشی که برای ساده کردن  r1  به کار بردیم،  r2  و  r3  را خود ساده کنند و لذت ببرند!  تمرین خوبی است برای کاربرد اتحادها(اسم اش را بگذاریم ورزش مثلثاتی برای فکر!) 

شکل ساده شده ی هر سه ریشه را در زیر می آوریم:

 

                                                    

 

از چند سال پیش که روش حل معادله ی درجه سوم را به صورتی که در مقاله ی پنجم آمده است عرضه کردم تا کنون، یکی از موثرترین و در عین حال جالب ترین کاربرد های آن در حل معادله ی فوق بوده است. البته یکبار دیگر هم از همین روش(لیکن کمی مختصر تر) در حل یکی از مسائل قبل استفاده شد ولی شماره ی مسئله الان در خاطرم نیست.

حالا که ریشه های معادله بر ما معلوم شدند و فهمیدیم که کدام ریشه نیز مثبت است موقع آن رسیده است که اصل مطلب یعنی فرمولی برای محاسبه ی کمینه ی مساحت استخراج کنیم. بنابر این به سراغ فرمول (۸) میرویم و به جای  r معادل  r1  را در آن میگذاریم.

 استخراج فرمول کمینه ی مساحت:

  

                                                              

همانطور که در ابتدا هم گفته شد این روش طولانی و نسبتا" سخت است. من این راه حل را در حدود دو ماه پیش پیدا کردم (زمانی که مسئله ی شماره ۶۸ پست شده بود) و راه حل کوتاه تری به نظرم نرسید و امیدوار بودم که آیندگان آنرا پیدا کنند. چند روز پیش آقای میرزایی برای من ایمیلی فرستادند که با استفاده از یک روش هندسی کوتاه به همین فرمول آخری رسیده اند. خدا پدر آقای میرزایی را بیامرزد که باعث نشدند ما چند صد سال دیگر منتظر بمانیم تا یکی بیاید و مسئله مان را حل کند! 

این راه حل آقای میرزایی است:

              

   سید جان هم به طور مبسوط  روی مسئله کار کرده اند و نتایج کارشان را در دو ایمیل جداگانه برای من فرستاده اند که به نظر گرامی خوانندگان عزیز میرسانم. روش دوم ایشان کمی کوتاه تر است:

 

   روش دوم:

                                

 باتشکر از این دوستان علاقه مند که یقینا" ساعتها از وقت با ارزش خود را مصروف پیدا کردن این راه حل های زیبا کرده اند و با اینهمه دقت و سلیقه هم آنها را تایپ کرده برای من فرستاده اند. دست تان درد نکند. خیلی خیلی ممنونم.  خوانندگان بعدی هم که این راه حلها را میبینند، اگر خودشان نیز مدتی با این مسائل دست و پنجه نرم کرده باشند، حتما" از آن ها بسیار لذت خواهند برد و زیبایی شان را بیشتر و بهتر خواهند دید.


برچسب ها: کتاب کار ریاضی، کتاب کار ریاضی 1، کتاب کار ریاضی اول دبیرستان، کتاب کار الهه آگاه، ریاضی اول دبیرستان، ویتامین ریاضیات، آموزش ریاضی، آموزش ریاضی دبیرستان، کتاب ریاضی، کمک درس ریاضیات، علم ریاضیات، آموزش ریاضی اول دبیرستان، کتاب کار ویتامین ریاضیات 1، الهه آگاه، کتاب الهه آگاه، حل تمرین ریاضی، حل تمرین ریاضی اول دبیرستان، نمونه سوالات ریاضی، نمونه سوالات ریاضی اول دبیرستان، نمونه سوالات امتحانی ریاضی، اعدادو نمادها، مجموعه، توان رسانی و ریشه گیری، چند جمله ایها، اتحاد، معادله درجه اول، معادله خط، نسبتهای مثلثاتی، عبارت های گویا، معادله درجه دوم، نامعادله، کتاب کار، ویتامین ریاضیات1، تجدیدی، کمبود ساعات آموزشی، مجموعه اعداد،  

تاریخ : یکشنبه 14 آبان 1391 | 11:07 ق.ظ | نویسنده : الهه آگاه | نظرات
.:

heart-black